$$T_n(x) = \cos(n\arccos(x))$$$n$ 是正整数，$x$ 可以是任何实数，$T_n(x)$ 表示的是第 $n$ 阶的切比雪夫多项式，这些多项式具有以下特性：1、奇偶性：$T_{2k+1}(x) = T_{2k-1}(-x)$ 是奇函数，$T_{2k}(x) = T_{2k}(x……...
$$T_n(x) = \cos(n\arccos(x))$$
$n$ 是正整数，$x$ 可以是任何实数，$T_n(x)$ 表示的是第 $n$ 阶的切比雪夫多项式，这些多项式具有以下特性：
1、奇偶性：$T_{2k+1}(x) = T_{2k-1}(-x)$ 是奇函数，$T_{2k}(x) = T_{2k}(x)$ 是偶函数。
2、四周对称：$T_n(x)$ $x=0$ 和 $x=1$ 对称。
3、范围：$|T_n(x)| \leq 1$ 对所有 $x$ 恒成立，且当 $x$ 在 $[-1, 1]$ 内时，最大值为 1。
4、级数展开：$T_n(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} x^{n-2k}$，这是其泰勒级数展开。
切比雪夫多项式常用于逼近某些函数，如周期函数、信号处理、物理学中的谐波分析等，在数值计算中，它们的精确性和快速计算性使得它们成为理想的近似工具。